模形式 - 构建指南 v10.9

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# 模形式

SageMath 的计算专长之一是模形式（非常技术性的领域），它能做的远远超出这篇非常简短的介绍所给出的内容。

## 尖点形式

如何使用 Sage 计算尖点形式空间的维数？

要计算 Gamma 尖点形式空间的维数，请使用命令 `dimension_cusp_forms`。 以下是教程中“模形式”章节的一个示例：

Sage

    sage: from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
    sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(11),2)
    1
    sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(1),12)
    1
    sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(389),2)
    6112

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
    >>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(11)),Integer(2))
    1
    >>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(1)),Integer(12))
    1
    >>> dimension_cusp_forms(Gamma1(Integer(389)),Integer(2))
    6112

相关命令：`dimension_new__cusp_forms_gamma0` （用于新形式的维数）、 `dimension_new__cusp_forms_gamma0` （用于模形式） 以及 `dimension_eis` （用于艾森斯坦级数）。 这些命令的语法类似 - 可以参阅参考手册中的示例。

## 陪集表示

算术商 \(H/\Gamma\) 的基本定义域的显式表示可以通过 \(\Gamma\) 在 \(SL_2(\ZZ)\) 上的陪集来确定。 这些陪集是如何在 Sage 中计算的呢？

以下是计算 \(SL_2(\ZZ)/\Gamma_0(11)\) 的陪集表示的示例：

Sage

    sage: G = Gamma0(11); G
    Congruence Subgroup Gamma0(11)
    sage: list(G.coset_reps())
    [
    [1 0]  [ 0 -1]  [1 0]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]
    [0 1], [ 1  0], [1 1], [ 1  2], [ 1  3], [ 1  4], [ 1  5], [ 1  6],

    [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]
    [ 1  7], [ 1  8], [ 1  9], [ 1 10]
    ]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> G = Gamma0(Integer(11)); G
    Congruence Subgroup Gamma0(11)
    >>> list(G.coset_reps())
    [
    [1 0]  [ 0 -1]  [1 0]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]
    [0 1], [ 1  0], [1 1], [ 1  2], [ 1  3], [ 1  4], [ 1  5], [ 1  6],
    <BLANKLINE>
    [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]  [ 0 -1]
    [ 1  7], [ 1  8], [ 1  9], [ 1 10]
    ]

## 模符号和 Hecke 算子

接下来我们展示如何在级别为 1、权重为 12 的模符号空间上计算 Hecke 算子。

Sage

    sage: M = ModularSymbols(1,12)
    sage: M.basis()
    ([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
    sage: t2 = M.T(2)
    sage: f = t2.charpoly('x'); f
    x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
    sage: factor(f)
    (x - 2049) * (x + 24)^2
    sage: M.T(11).charpoly('x').factor()
    (x - 285311670612) * (x - 534612)^2

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> M = ModularSymbols(Integer(1),Integer(12))
    >>> M.basis()
    ([X^8*Y^2,(0,0)], [X^9*Y,(0,0)], [X^10,(0,0)])
    >>> t2 = M.T(Integer(2))
    >>> f = t2.charpoly('x'); f
    x^3 - 2001*x^2 - 97776*x - 1180224
    >>> factor(f)
    (x - 2049) * (x + 24)^2
    >>> M.T(Integer(11)).charpoly('x').factor()
    (x - 285311670612) * (x - 534612)^2

这里 `t2` 表示 \(\QQ\) 上对权重为 \(12\) 、符号为 \(0\) 且维度为 \(3\) 的 \(\Gamma_0(1)\) 的完整模符号空间的 Hecke 算子 \(T_2\)。

Sage

    sage: M = ModularSymbols(Gamma1(6),3,sign=0)
    sage: M
    Modular Symbols space of dimension 4 for Gamma_1(6) of weight 3 with sign 0
    over Rational Field
    sage: M.basis()
    ([X,(0,5)], [X,(3,5)], [X,(4,5)], [X,(5,5)])
    sage: M._compute_hecke_matrix_prime(2).charpoly()
    x^4 - 17*x^2 + 16
    sage: M.integral_structure()
    Free module of degree 4 and rank 4 over Integer Ring
    Echelon basis matrix:
    [1 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]
    [0 0 0 1]

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> M = ModularSymbols(Gamma1(Integer(6)),Integer(3),sign=Integer(0))
    >>> M
    Modular Symbols space of dimension 4 for Gamma_1(6) of weight 3 with sign 0
    over Rational Field
    >>> M.basis()
    ([X,(0,5)], [X,(3,5)], [X,(4,5)], [X,(5,5)])
    >>> M._compute_hecke_matrix_prime(Integer(2)).charpoly()
    x^4 - 17*x^2 + 16
    >>> M.integral_structure()
    Free module of degree 4 and rank 4 over Integer Ring
    Echelon basis matrix:
    [1 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]
    [0 0 0 1]

更多示例请参阅教程或参考手册中的模形式章节。

## 亏格公式 (Genus formulas)

Sage 可以计算 \(X_0(N)\), \(X_1(N)\) 及相关曲线的亏格 (genus)。 以下是一些语法示例：

Sage

    sage: from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
    sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(22))
    2
    sage: dimension_cusp_forms(Gamma0(30))
    3
    sage: dimension_cusp_forms(Gamma1(30))
    9

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> from sage.modular.dims import dimension_cusp_forms
    >>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(22)))
    2
    >>> dimension_cusp_forms(Gamma0(Integer(30)))
    3
    >>> dimension_cusp_forms(Gamma1(Integer(30)))
    9

请参阅计算模形式空间维数的代码（在 `sage/modular/dims.py` 中） 或 Oesterlé 和 Cohen 的论文 {CO}，获取详细信息。