基本代数和微积分 - Sage 教程

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# 基本代数和微积分

Sage 能够进行多种与基本代数和微积分相关的计算，例如求解方程、微分、积分和拉普拉斯变换。 更多示例，请参阅 Sage Constructions 。

在所有这些示例中，函数中的变量都需要使用 `var(...)` 定义。例如：

Sage

    sage: u = var('u')
    sage: diff(sin(u), u)
    cos(u)

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> u = var('u')
    >>> diff(sin(u), u)
    cos(u)

如果遇到 `NameError` 错误，请检查是否拼写错误，或者是否忘记使用 `var(...)` 定义变量。

## 求解方程

### 精确求解方程

`solve` 函数用于求解方程。使用时，首先定义变量； 然后将方程（或方程组）和需要求解的变量作为 `solve` 的参数：

Sage

    sage: x = var('x')
    sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
    [x == -2, x == -1]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> x = var('x')
    >>> solve(x**Integer(2) + Integer(3)*x + Integer(2), x)
    [x == -2, x == -1]

你可以求解一元方程，其他变量作为参数：

Sage

    sage: x, b, c = var('x b c')
    sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
    [x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> x, b, c = var('x b c')
    >>> solve([x**Integer(2) + b*x + c == Integer(0)],x)
    [x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

你也可以求解多元方程：

Sage

    sage: x, y = var('x, y')
    sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
    [[x == 5, y == 1]]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> x, y = var('x, y')
    >>> solve([x+y==Integer(6), x-y==Integer(4)], x, y)
    [[x == 5, y == 1]]

以下是由 Jason Grout 提供的使用 Sage 求解非线性方程组的示例： 首先，我们符号化地求解该方程组：

Sage

    sage: var('x y p q')
    (x, y, p, q)
    sage: eq1 = p+q==9
    sage: eq2 = q*y+p*x==-6
    sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
    sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
    [[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> var('x y p q')
    (x, y, p, q)
    >>> eq1 = p+q==Integer(9)
    >>> eq2 = q*y+p*x==-Integer(6)
    >>> eq3 = q*y**Integer(2)+p*x**Integer(2)==Integer(24)
    >>> solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y)
    [[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

对于解的数值近似，可以使用：

Sage

    sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
    sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
    [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
     [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y, solution_dict=True)
    >>> [[s[p].n(Integer(30)), s[q].n(Integer(30)), s[x].n(Integer(30)), s[y].n(Integer(30))] for s in solns]
    [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
     [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

（函数 `n` 用于打印数值近似，参数是精度的位数。）

### 数值求解方程

很多时候，`solve` 无法找到指定方程或方程组的精确解。 此时可以使用 `find_root` 找到数值解。 例如，solve 对以下方程没有返回任何有意义的结果:

Sage

    sage: theta = var('theta')
    sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
    [sin(theta) == cos(theta)]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> theta = var('theta')
    >>> solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
    [sin(theta) == cos(theta)]

另一方面，可以使用 `find_root` 在区间 \(0 < \phi < \pi/2\) 内找到上述方程的解:

Sage

    sage: phi = var('phi')
    sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
    0.785398163397448...

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> phi = var('phi')
    >>> find_root(cos(phi)==sin(phi),Integer(0),pi/Integer(2))
    0.785398163397448...

## 微分、积分及其他

Sage 可以对许多函数进行微分和积分。 例如，对 \(\sin(u)\) 相对于 \(u\) 进行微分，可以这样做：

[Sage]

    sage: u = var('u')
    sage: diff(sin(u), u)
    cos(u)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> u = var('u')
    >>> diff(sin(u), u)
    cos(u)

计算 \(\sin(x^2)\) 的四阶导数：

[Sage]

    sage: diff(sin(x^2), x, 4)
    16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> diff(sin(x**Integer(2)), x, Integer(4))
    16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

分别计算 \(x^2+17y^2\) 相对于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数：

[Sage]

    sage: x, y = var('x,y')
    sage: f = x^2 + 17*y^2
    sage: f.diff(x)
    2*x
    sage: f.diff(y)
    34*y

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> x, y = var('x,y')
    >>> f = x**Integer(2) + Integer(17)*y**Integer(2)
    >>> f.diff(x)
    2*x
    >>> f.diff(y)
    34*y

接下来讨论积分，包括不定积分和定积分。计算 \(\int x\sin(x^2)\, dx\) 和 \(\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx\)

[Sage]

    sage: integral(x*sin(x^2), x)
    -1/2*cos(x^2)
    sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
    1/2*log(2)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> integral(x*sin(x**Integer(2)), x)
    -1/2*cos(x^2)
    >>> integral(x/(x**Integer(2)+Integer(1)), x, Integer(0), Integer(1))
    1/2*log(2)

计算 \(\frac{1}{x^2-1}\) 的部分分式分解：

[Sage]

    sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
    sage: f.partial_fraction(x)
    -1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> f = Integer(1)/((Integer(1)+x)*(x-Integer(1)))
    >>> f.partial_fraction(x)
    -1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

## 求解微分方程

你可以用 Sage 来研究常微分方程。 求解方程 \(x'+x-1=0\)：

Sage

    sage: t = var('t')    # define a variable t
    sage: x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
    sage: DE = diff(x, t) + x - 1
    sage: desolve(DE, [x,t])
    (_C + e^t)*e^(-t)

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> t = var('t')    # define a variable t
    >>> x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
    >>> DE = diff(x, t) + x - Integer(1)
    >>> desolve(DE, [x,t])
    (_C + e^t)*e^(-t)

这里使用 Sage 与 Maxima [Max] 的接口，因此其输出可能与其他 Sage 输出有所不同。 上面示例中，输出表示该微分方程的一般解是 \(x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)\)。

你还可以计算拉普拉斯变换； 计算 \(t^2e^t -\sin(t)\) 的拉普拉斯变换如下：

Sage

    sage: s = var("s")
    sage: t = var("t")
    sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
    sage: f.laplace(t,s).simplify_rational()
    -(s^3 - 5*s^2 + 3*s - 3)/(s^5 - 3*s^4 + 4*s^3 - 4*s^2 + 3*s - 1)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> s = var("s")
    >>> t = var("t")
    >>> f = t**Integer(2)*exp(t) - sin(t)
    >>> f.laplace(t,s).simplify_rational()
    -(s^3 - 5*s^2 + 3*s - 3)/(s^5 - 3*s^4 + 4*s^3 - 4*s^2 + 3*s - 1)

这里是一个更复杂的示例。左侧连接到墙上的耦合弹簧的平衡位移

    |------\/\/\/\/\---|mass1|----\/\/\/\/\/----|mass2|
             spring1               spring2

由二阶微分方程组建模

\[ \begin{align}\begin{aligned}m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0\\m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,\end{aligned}\end{align} \]

其中 \(m_{i}\) 是物体 i 的质量，\(x_{i}\) 是质量 i 的平衡位移，\(k_{i}\) 是弹簧 i 的弹簧常数。

示例： 使用 Sage 求解上述问题，其中 \(m_{1}=2\), \(m_{2}=1\), \(k_{1}=4\), \(k_{2}=2\), \(x_{1}(0)=3\), \(x_{1}'(0)=0\), \(x_{2}(0)=3\), \(x_{2}'(0)=0\).

解：对第一个方程进行拉普拉斯变换（符号 \(x=x_{1}\), \(y=x_{2}\)）：

Sage

    sage: t,s = SR.var('t,s')
    sage: x = function('x')
    sage: y = function('y')
    sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
    sage: f.laplace(t,s)
    2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> t,s = SR.var('t,s')
    >>> x = function('x')
    >>> y = function('y')
    >>> f = Integer(2)*x(t).diff(t,Integer(2)) + Integer(6)*x(t) - Integer(2)*y(t)
    >>> f.laplace(t,s)
    2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

输出虽然难以阅读，但其表示

\[-2x'(0) + 2s^2 \cdot X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0\]

（其中小写函数如 \(x(t)\) 的拉普拉斯变换是大写函数 \(X(s)\)）。 对第二个方程进行拉普拉斯变换：

Sage

    sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
    sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2.sage()
    s^2*laplace(y(t), t, s) - s*y(0) - 2*laplace(x(t), t, s) + 2*laplace(y(t), t, s) - D[0](y)(0)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
    >>> lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2.sage()
    s^2*laplace(y(t), t, s) - s*y(0) - 2*laplace(x(t), t, s) + 2*laplace(y(t), t, s) - D[0](y)(0)

这表示

\[-Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.\]

代入初始条件 \(x(0)\), \(x'(0)\), \(y(0)\), 和 \(y'(0)\)， 并求解所得的两个方程：

Sage

    sage: var('s X Y')
    (s, X, Y)
    sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
    sage: solve(eqns, X,Y)
    [[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
      Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> var('s X Y')
    (s, X, Y)
    >>> eqns = [(Integer(2)*s**Integer(2)+Integer(6))*X-Integer(2)*Y == Integer(6)*s, -Integer(2)*X +(s**Integer(2)+Integer(2))*Y == Integer(3)*s]
    >>> solve(eqns, X,Y)
    [[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
      Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

此时进行逆拉普拉斯变换即可得到答案：

Sage

    sage: var('s t')
    (s, t)
    sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
    cos(2*t) + 2*cos(t)
    sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
    -cos(2*t) + 4*cos(t)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> var('s t')
    (s, t)
    >>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(9)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
    cos(2*t) + 2*cos(t)
    >>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(15)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
    -cos(2*t) + 4*cos(t)

因此，解为

\[x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).\]

可以使用参数方式绘制函数图像

Sage

    sage: t = var('t')
    sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
    ....:     (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
    sage: show(P)

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> t = var('t')
    >>> P = parametric_plot((cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t) ),
    ...     (t, Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.9')))
    >>> show(P)

也可以分开绘制两个函数的图像

Sage

    sage: t = var('t')
    sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
    sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
    sage: show(p1 + p2)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> t = var('t')
    >>> p1 = plot(cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.3')))
    >>> p2 = plot(Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
    >>> show(p1 + p2)

有关绘图的更多信息，请参见 绘图。 有关微分方程的更多信息，请参见 [NagleEtAl2004] 的第 5.5 节。

## 欧拉法求解微分方程组

在下一个示例中，我们将演示欧拉法求解一阶和二阶常微分方程。 首先回顾一下一阶方程的基本思想。给定初值问题的形式为

\[y'=f(x,y), \quad y(a)=c,\]

我们要找到解在 \(x=b\) 处的近似值，其中 \(b>a\)。

回顾导数的定义

\[y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},\]

其中 \(h>0\) 是一个给定且极小的数。 结合微分方程可以得到 \(f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}\)。 现在求解 \(y(x+h)\):

\[y(x+h) \approx y(x) + h\cdot f(x,y(x)).\]

如果我们把 \(h \cdot f(x,y(x))\) 称为“校正项”（因为没有更好的名称）, 把 \(y(x)\) 称为“\(y\) 的旧值”， 把 \(y(x+h)\) 称为“\(y\) 的新值”， 那么这个近似可以重新表示为

\[y_{new} \approx y_{old} + h\cdot f(x,y_{old}).\]

如果我们将从 \(a\) 到 \(b\) 的区间分成 \(n\) 步， 使得 \(h=\frac{b-a}{n}\)，那么我们可以在表中记录此方法的信息。

\(x\) | \(y\) | \(h \cdot f(x,y)\)
--- | --- | ---
\(a\) | \(c\) | \(h \cdot f(a,c)\)
\(a+h\) | \(c+h \cdot f(a,c)\) | ...
\(a+2h\) | ... |
... |  |
\(b=a+nh\) | ??? |

我们的目标是逐行填满表中的所有空白，直到到达 ??? 条目，这就是欧拉法对 \(y(b)\) 的近似值。

求解微分方程组的思想与之类似。

示例： 数值近似 \(z(t)\) 在 \(t=1\) 处的值，使用欧拉法的 4 个步骤， 其中 \(z''+tz'+z=0\), \(z(0)=1\), \(z'(0)=0\)。

我们必须将二阶常微分方程简化为两个一阶常微分方程组（使用 \(x=z\), \(y=z'\)）并应用欧拉法：

Sage

    sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
    sage: f = y; g = -x - y * t
    sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
          t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
          0                1                  0.00                0           -0.25
        1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
        1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
        3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
          1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
    >>> f = y; g = -x - y * t
    >>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
          t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
          0                1                  0.00                0           -0.25
        1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
        1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
        3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
          1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

因此，\(z(1)\approx 0.65\).

我们还可以绘制点 \((x,y)\) 以获得曲线的近似图。 函数 `eulers_method_2x2_plot` 将执行此操作； 为了使用它，我们需要定义函数 \(f\) 和 \(g\)， 它们接受一个带有三个坐标的参数：(\(t\), \(x\),`y`)。

Sage

    sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
    sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
    sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
    >>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
    >>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

此时，`P` 存储了两个图： `P[0]`, \(x\) 相对于 \(t\) 的图, 以及 `P[1]`, \(y\) 相对于 \(t\) 的图。 我们可以通过如下代码绘制这两个图：

Sage

    sage: show(P[0] + P[1])

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

（有关绘图的更多信息，请参见 绘图。）

## 特殊函数

Sage 利用 PARI [GAP] 和 Maxima [Max] ,实现了多种正交多项式和特殊函数。 这些函数在 Sage 参考手册的相应部分（“正交多项式”和“特殊函数”）中有详细文档。

Sage

    sage: x = polygen(QQ, 'x')
    sage: chebyshev_U(2,x)
    4*x^2 - 1
    sage: bessel_I(1,1).n(250)
    0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
    sage: bessel_I(1,1).n()
    0.565159103992485
    sage: bessel_I(2,1.1).n()
    0.167089499251049

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> x = polygen(QQ, 'x')
    >>> chebyshev_U(Integer(2),x)
    4*x^2 - 1
    >>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
    0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
    >>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
    0.565159103992485
    >>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()
    0.167089499251049

此时，Sage 仅将这些函数包装用于数值使用。 对于符号使用，请直接使用 Maxima 接口，如以下示例：

Sage

    sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
    'bessel_y(v,w)'
    sage: maxima.eval("diff(f,w)")
    '(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
    'bessel_y(v,w)'
    >>> maxima.eval("diff(f,w)")
    '(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

## 向量微积分

参见 Vector Calculus Tutorial.